Juegos de Ingenio y Rarezas Matemáticas

Comentarios, dudas y reflexiones sobre esta apasionante rama del conocimiento

Moderador: Modus

Notapor cristian » 27/7/2005 12:56

Hola:

Se me ocurrió que podríamos abrir un foro de "Juegos de Ingenio y Rarezas Matemáticas"

Tengo varios libritos sobre el tema y algunas cosas son realmente curiosas.

Para iniciar el tema les dejo un "prueba" muy sencilla de que ln(2) = 0 (¡lo cual es falso!) y donde se invita a los foristas a detectar el error.

El logaritmo natural de 2 es el numero irracional LN(2) = 0.69314718...
Puede obtenerse como límite de la serie expresada por:

LN(2) = 1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + 1/5 - 1/6 + 1/7 - 1/8 + ...

(si queren verificarlo conviene tomar muchos términos porque converge muy lentamente)

Reagrupando positivos por un lado y negativos por el otro y sacando el "-" como factor común nos queda:

LN(2) = (1 + 1/3 + 1/5 + 1/7 + ...) - (1/2 + 1/4 + 1/6 + 1/8 ...)

Ahora le sumo y resto el término de la derecha, que es como sumar cero:


LN(2) = (1 + 1/3 + 1/5 + 1/7 + ...) - (1/2 + 1/4 + 1/6 + 1/8 ...) + (1/2 + 1/4 + 1/6 + 1/8 ...) - (1/2 + 1/4 + 1/6 + 1/8 ...)


Reagrupo el primer término con el tercero y el segundo con el cuarto obteniendo:

LN(2) = (1 + 1/3 + 1/5 + 1/7 + ...) + (1/2 + 1/4 + 1/6 + 1/8 ...) - 2.(1/2 + 1/4 + 1/6 + 1/8 ...)

Los dos primeros términos los agrupo y reordeno, y en el tercero distribuyo el 2 y simplifico las fracciones:

LN(2) = (1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + 1/6 + 1/7 + 1/8 + ...) - (1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + 1/6 + 1/7 + 1/8 + ...)

Lo que nos da finalmente:

LN(2) = 0

Que es falso, pues LN(2) = 0.69314718 distinto de 0

¿Dónde está el error?

Saludos.
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Notapor kanijo » 27/7/2005 18:01

Hola Cristian, me parece muy interesante y entretenido lo que propones, espero que pasemos unos buenos ratos con estos juegos. Tengo mis matemáticas un poco oxidadas pero aún así voy a tirarme a la piscina.

Creo que el error está en el paso 3:

Ahora le sumo y resto el término de la derecha, que es como sumar cero:

LN(2) = (1 + 1/3 + 1/5 + 1/7 + ...) - (1/2 + 1/4 + 1/6 + 1/8 ...) + (1/2 + 1/4 + 1/6 + 1/8 ...) - (1/2 + 1/4 + 1/6 + 1/8 ...)


Sumar y restar el término 2 es en realidad sumar los términos de la serie 1/2x desde para x=1 hasta infinito. La suma de esta serie tiende a infinito, lo cual sería similar a sumar y restar infinito, lo cual no es cero sino una indeterminación.

Bueno, ahí queda mi propuesta, un saludo
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Notapor cristian » 27/7/2005 18:55

Dice Kanijo:

Sumar y restar el término 2 es en realidad sumar los términos de la serie 1/2x desde para x=1 hasta infinito. La suma de esta serie tiende a infinito, lo cual sería similar a sumar y restar infinito, lo cual no es cero sino una indeterminación.


¡EXACTO! :D

Así es, Kanijo.

El chiste del problema es que cuesta creer que

1/2 + 1/4 + 1/6 + 1/8 + 1/10 + ....
-
1/2 + 1/4 + 1/6 + 1/8 + 1/10 + ....


Pueda dar distinto de cero, sin embargo, en este caso, agregar este par de opuestos ha resultado, concretamente, en un desvío de -0.69314718...
Curioso ¿verdad?

Bueno amigos, la idea queda planteada: Juegos de ingenio, rarezas matemáticas y geométricas, acertijos lógicos....
Pasen a leerlas ¡y pasen a escribirlas!

Saludos.
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Notapor cristian » 28/7/2005 14:12

En realidad hay otras curiosidades sobre el mismo problema.

Hemos visto (y nos hemos convencido) de que la razón por la cuál se produce el fallo es que sumamos y restamos oo escrito de otra forma (como la suma 1/2 + 1/4 + 1/6 + 1/8+...).

Pero el problema arranca más atrás.

Hemos visto que 0.69314718... = ln(2) = 1-1/2+1/3-1/4+1/5-1/6+1/7-1/8+...

luego agrupamos positivos por un lado y negativos por el otro:

ln(2) = (1+1/3+1/5+1/7+1/9+...) - (1/2+1/4+1/6+1/8+...)

Pero esto es ya oo - oo, que es una indeterminación.

De modo que si acomodamos los términos de la serie de una forma obtenemos 0.69314718... y si los acomodamos de otra forma obtenemos una indeterminación.

Si los términos son los mismos ¿por qué cambia el resultado al cambiarlos de lugar?

La respuesta es esta:

Tanto los naturales como los enteros los racionales y los reales cumplen las propiedades conmutativa y asociativa. Esto es:

1. a+b = b+a
2. (a+b)+c = a+(b+c)

Ahora bien, 1 y 2 alcanzan para probar que tambien se pueden conmutar y agrupar una cantidad finita de números, pero no se puede probar que valga para una cantidad infinita.

Así pues, cuando cambiamos el orden y reagrupamos infinitos términos, el resultado de la cuenta puede cambiar, como de hecho lo hace.

Un ejemplo más simple y claro:

La serie 1-1+1-1+1-1+1-1+1-...... converge a 1 y 0.

Si asociamos (¡siquiera conmutamos!) así:

(1-1)+(1-1)+(1-1)+(1-1)+...

Nos dá 0+0+0+0+... = 0

Y si agrupamos así:

1+(1-1)+(1-1)+(-1+1)+....

Nos dá 1+0+0+0+0+... = 1

Así pues, estas sumas de infinitos términos no son ni asociativas ni conmutativas.

Dejo aquí para no aburrirlos, pero hay más que decir sobre el tema.

Y nuevamente, quedan todos invitados a proponer las rarezas que conozcan.

Saludos.
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Notapor Zerjillo » 28/7/2005 15:11

Bueno, no tengo mucho tiempo para indagar y recordar curiosidades y problemas curiosos matematicos, pero aporto un pequeño granito de arena. Aunque antes, felicitar a cristian por la idea y por la manera tan genial (a mi me parece genial, por su sencillez y claridad) de exponer como algunas indeterminaciones pueden echar al traste razonamientos tan "lógicos" como los que expone.

Aqui va el mio.

En primaria nos enseñan que los números periodicos puros son aquellos que despues de la coma decimal tienen un numero infinito de terminos decimales que se repiten, por ejemplo:

1.3434343434... -> abreviado se suele poner "1.34" con un "gorrito" sobre el 34, que yo denotaré por "1.34^".
9.5555555555... -> 9.5^
27.441441441441... -> 27.441^

Y nos enseñan una regla sencilla que nos permite "convertirlos en un numero fraccionario" (en realidad es un método de encontrar la fracción generatriz de dicho número periodico puro). Por ejemplo:

1/3 = 0.3333333... = 0.3^
40/33 = 1.21212121... = 1.21^

El método para encontrar la fracción generatriz es sencillo: Basta con "quitarle la coma y el sombrerito al numero periodico, restarle el numero a la izquierda de la coma y dividirlo por tantos 9 como cifras decimales teniamos bajo el sombrerito". Por ejemplo:

0.3^ -> (3 - 0) / 9 = 1 / 3
1.21^ -> (121 - 1) / 99 = 120 / 99 = 40 / 33
14.315^ -> (14315 - 14) / 999 = 1589 / 111

Hasta aqui nada nuevo ni curioso... pero... ¿Que pasa si intentamos la regla de la fraccion generatriz sobre, por ejemplo, 0.9^?

0.9^ -> (9 - 0) / 9 = 1

Parece obvio que no ha funcionado. Pero es que eso pasa en todos los numeros que acaban en .9^:

37.9^ -> (379 - 37) / 9 = 38
555.9^ -> (5559 - 555) / 9 = 556

¿Que es lo que pasa? ¿La regla tiene una excepción que no nos quisieron contar de pequeños? ¿Acaso mis cálculos o razonamientos son incorrectos?

Solo notar que esto tb pasa con los numeros periodicos mixtos, pero no pongo ejemplos por no liar más el tema (ademas es dificil expresarlos sin poder poner los "gorritos" de manera apropiada).

Ahi queda eso.

Un saludo

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Notapor cristian » 29/7/2005 16:03

Hola Zerjillo:

¡Gracias por los elogios! De todos modos te cuento que estos problemas ya estan inventados. Yo solo llamo la atención sobre ellos.


Interesante planteo.
Allí tocas un detalle que mucha gente ignora sobre las representaciones decimales de los números reales.

Un numero real se representa en base 10 (usando 10 garabatos distintos) como una parte entera de finitos dígitos, una coma, y una parte decimal o mantisa de infinitos dígitos.

Sería más que agradable que cada combinación distinta de dígitos de la forma indicada recien, representara un real distinto. Pero esto no es así. Hay una excepción que es esta:

Todo número cuya mantisa es o termina en 9 periódico, es igual al que resulta de sumarle 1 al dígito anterior.

Esto es:

0.999999.... = 1
37.99999... = 38
12.2499999... = 12.25

Veamos por qué. Tomemos el primer ejemplo: 0.99999... = 1
Si fueran distintos, entonces 0.9999... < 1 y entonces debe existir un x en el medio que se puede calcular así:

x = (0.9999... + 1) / 2

Este número x debe ser mayor que 0.999... y menor que 1, pero no es posible expresar ningún número que cumpla esas condiciones. De hecho, si intentamos calcularlo haciendo cuentas a mano, nos queda:

x = (0.999... + 1)/2 = 1.99999.../2 = 0.999....

Es decir, ese número no puede estar en el medio de los otros dos.
Lo que contradice el supesto de que 0.9999.. y 1 son distintos.

Así pues, cuando dices:

¿Que pasa si intentamos la regla de la fraccion generatriz sobre, por ejemplo, 0.9^?

0.9^ -> (9 - 0) / 9 = 1

Parece obvio que no ha funcionado. Pero es que eso pasa en todos los numeros que acaban en .9^:

37.9^ -> (379 - 37) / 9 = 38
555.9^ -> (5559 - 555) / 9 = 556


Esas igualdades a las que llegas son ciertas aunque no lo parezcan. Por lo tanto, la regla para la generación de la fracción generatriz sí está funcionando.

Bueno, no hace falta que nos enrollemos estrictamente con temas muy matemáticos. Cualquier juego de ingenio, acertijo lógico o curiosidad que vean la pueden postear aquí.

Saludos.
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Notapor Zerjillo » 30/7/2005 01:29

Mejor explicado imposible... es algo que me llamó la atención en el colegio cuando me explicaron el "rollo" de las fracciones generatrices. Y bueno, no importa que lo que hayas expuesto no te lo hayas inventado tu... yo tampoco lo que contaba, sino mi "profe" de mates. ;-)

Un saludo y a ver si se anima la gente

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Notapor cristian » 1/8/2005 04:29

Esto sí es un invento mío. Por ahora estoy estudiando el asunto así que no se bien que significa. Pero es bastante sencillo entrar a este pequeño universo.

Un número natural puede ser tan grande como querramos, pero siempre debe ser finito.
Así podemos utilizar para anotarlos una sucesió de dígitos tan grande como imaginemos, pero siempre será una cantidad finita de dígitos.

En matemática, cuando nos encontramos con un número de infinitos dígitos, decimos que es infinito, anotamos oo y pasamos a otra cosa.

Por ejemplo el número ...111111 formado por la repetición de 1 infinitas veces es infinito, al igual que ....222222 o ....888888, todos infinitos.

Si somamos o multiplicamos dos de estos, nos vuelve a dar infinito, y si los restamos o dividimos nos dá una indeterminación.

No obstante, esta realidad tan evidente, no ha sido suficiente para vencer mi escepticismo. Y me puse a hacer cuentas con estos "numeros" de infinitos dígitos para ver que resultaba.
La sorpresa no tardo mucho en llegar. Pero el lector tendrá que encontrarla por sí mismo, aunque no lo haré trabajar mucho.


Invito al lector a calcular (...99999) al cuadrado.

Sí. Pregunto ¿qué resulta de elevar al cuadrado una número de infinitos dígitos 9?

No se asusten pues basta con hacer la cuenta (a mano) con unos cuantos dígitos para darse cuenta de lo que seguirá dando con el infinito resto del algoritmo.

Adelante, ¡vamos! todos saben multiplicar ¿verdad?
¿cuanto es ...99999 x ....99999?

El resultado es muuuuuuy curioso.

Saludos.
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Notapor kanijo » 1/8/2005 08:17

Vaya Cristian, es realmente un resultado muy curioso, invito a los compañeros a que hagan el mismo ejercicio para el número 1, es resultado es también interesante.

Un saludo
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Notapor kanijo » 1/8/2005 08:28

No se si es una curiosidad o tiene alguna explicación que desconozco, a ver si algún compañero puede ayudarme. Una regla que usaba para recordar la aceleración de la gravedad sobre la Tierra ( aprox. 9,8m/s^2) es que coincide de forma aproximada con el valor de PI^2. ¿Hay alguna razón para esta coincidencia o es solo una casualidad?

Un saludo
kanijo
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Notapor Cabezón » 1/8/2005 09:32

Kanijo, es una casualidad. No hay ninguna razón para que g = PI^2
Si te das cuenta, PI es una relación matemática, el cociente entre la longitud del círculo y el diámetro, y no tiene unidades (no es una magnitud física). En cambio g es una magnitud física, tiene el valor de 9.81 si se mide en m/s^2; además, no es una constante, ese valor es el que corresponde al nivel del mar y varía ligeramente con la latitud, también con la altitud o la profundidad. Y si se expresa en otras unidades, por ejemplo yardas/seg^2 ya no se cumple la relación con PI.
De todos modos, no conocía esa relación, supongo porque en mis tiempos no había calculadoras que tuvieran PI en una tecla :roll: . Además, nunca he tenido problemas para aprender números. Vemos, PI de memoria (sin consultar): 3,141592653... hasta ahí me acuerdo. :wink:
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Notapor cristian » 2/8/2005 20:51

Dice Cabezón:

Si te das cuenta, PI es una relación matemática, el cociente entre la longitud del círculo y el diámetro, y no tiene unidades (no es una magnitud física). En cambio g es una magnitud física, tiene el valor de 9.81 si se mide en m/s^2; además, no es una constante, ese valor es el que corresponde al nivel del mar y varía ligeramente con la latitud, también con la altitud o la profundidad. Y si se expresa en otras unidades, por ejemplo yardas/seg^2 ya no se cumple la relación con PI.


No es por complicar el asunto perooooo... ¡No puedo evitar complicar el asunto! :lol:

La verdad es que, aunque muy poquita cosa, náda, digamos, el cociente PI sí que varía con la altitud :shock:

Veamos por qué.

Como todo objeto gravitante, la Tierra produce una deformación en la curvatura del espacio tiempo debida a su masa. Esa deformación cambia la geometría del espacio continuamente a medida que nos alejamos de la Tierra (cada vez la deforma menos).
PI vale PI solo en un espacio plano. De modo que PI no vale PI en la superficie de la Tierra aunque se va acercando a medida que nos alejamos de ella.

Una forma de ver por qué PI puede variar en un espacio curvo es dibujando una circunferencia sobre una naranja y ver que el diámetro es curvo y por lo tanto más largo, de modo que cabe menos veces en la circunsferencia (PI es allí menor que 3.141592653...).


Otro Juego:

Tomen dos monedas. Coloquenlas una al lado de la otra de modo que se toquen en un punto y queden con la figura (la cara, el número o lo que sea) en la misma posición.

Ahora, a la moneda de la derecha la presionamos sobre la mesa para fijarla y que no se mueva.
A la moneda de la izquierda la hacemos rodar como si fuera un engranaje sobre la moneda fija, por la semicircunsferencia superior de la misma hasta que quede a la derecha.

Pregunta: ¿Cuántos grados rotó la moneda que paso de la derecha a la izquierda?

¿Cuanto habría rotado si hubiera dado la vuelta entera sobre la moneda fija hasta llegar a la posición inicial?

Si entendieron lo que hay que hacer, prueben y verán que no es lo que parece.
Si no entendieron, pregunten, pregunten.

Saludos.
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Notapor Cabezón » 2/8/2005 23:54

Lo de que PI varía con la altura es hacer un poquito de trampa :twisted: porque yo me refería al espacio plano, que es donde PI vale lo que he dicho :roll:

Respecto al giro monetario, es decir a las dos monedas que giran :lol: :lol: , mi intuición me decía que la respuesta era 360º, y así resultó cuando lo comprobé por la vía experimental.
Veamos por qué. Ciertamente, la moneda que se desplaza realiza un giro de 180º respecto a sí misma, y esa parece que debería ser la respuesta. Pero al mismo tiempo que realiza ese movimiento de rotación, realiza otro de traslación, sobre la circunferencia de la otra moneda (¡que debe ser igual! - Cristian, se te olvidó comentar este detalle); ¿y cuánto es el desplazamiento? ¡pues precisamente 180º!
Por lo tanto, se suman los dos movimientos:
-> Rotación respecto a sí misma: 180º
-> Traslación en torno a la otra: 180º
Total --------------------------------> 360º es decir un giro completo.
Al verificarlo experimentalmente se comprueba como, en efecto, la moneda queda orientada igual que al principio; si la orientación no es perfecta será por los efectos del rozamiento sobre la mesa o deslizamientos entre las dos monedas, errores experimentales, evidentemente. Pero si no han sido excesivos los errores, la posición estará más cerca del giro completo que de los 180º que parecían.

Y si se completa el movimiento, serán dos las vueltas: 720º. O, si lo prefieren en radianes, 4*PI, es decir PI PI PI PI :lol: :lol: :lol:
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Millennium Problems.

Notapor As_tronomo » 8/8/2005 15:52

Bueno, gracias a esta iniciativa de Cristian, ya para nadie es un secreto que aquí hay quienes tienen habilidades bastante aceptables con las matemáticas (para no pecar de poco modestos); pero analizando el asunto me pregunto:
¿Por qué seguir regalando tanto esfuerzo mental?
¿Por qué gratuitamente?
¿Y si les digo que por la sola resolución de un problema matemático pueden obtener mucho dinero?
...si mucho, y es en serio.
¿Qué tal un millón de dólares?
...o mejor aún:
¿Qué tal 7 millones?
¿Continúan pensando que estoy bromeando?
No me extraña.

Pues resulta que en el Clay Mathematics Institute of Cambridge se lo han pensado muy en serio y es el premio que desde hace poco más de 4 años, están ofreciendo a quienes solucionen los Millennium Problems.

¿Se animan?
Nada más de imaginar cómo serán esos problemas se me asusta y encoje el cerebro. :shock: :lol: :lol:

Más información aquí:
http://www.claymath.org/millennium/

>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>

Ando buscando un acertijo matemático de los clásicos, bastante más simple y al alcance del humano promedio (entre los que me incluyo), pero nada que doy con él. En cuanto lo encuentre, lo pongo acá. Eso sí, no me vayan a venir con risotadas que me acomplejen ¿eh?...que para mí en su momento representó un duro reto. :lol: :lol: :lol:

Saludos,

<a href="http://www3.sympatico.ca/jgmaza/" target="_blank" class="postlink"><b>As_Tronomo</b></a>
¿Quieres dar una mirada al pasado, días, meses, años, siglos, milenios atrás?
Sal una noche clara y observa el cielo.
¿Quieres dar una mirada al futuro?
Vuélvelo a observar!!!
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Notapor cristian » 9/8/2005 13:46

Bueno Astronomo, me has convencido. Ya mismo me pongo a trabajar en esos problemitas. Mañana o pasado les cuento como se resuelven... :D

Esperamos tu acertijo con ancias. No temas a la burla y el escarnio. Esos, que ríen no valoran el esfuerzo de los intelectos porque ellos mismos no son capaces de ponerlo en práctica. ¡Fuera con ellos! y
¡Vamos! ¡Anímate! ¡Aporta lo tuyo! Lo estamos esperando para burlarnos de ti :twisted: :twisted: :lol: :lol: :lol: :lol: :lol:


Hace unos post atrás, dejé un desafío:


Invito al lector a calcular (...99999) al cuadrado.

Sí. Pregunto ¿qué resulta de elevar al cuadrado una número de infinitos dígitos 9?

No se asusten pues basta con hacer la cuenta (a mano) con unos cuantos dígitos para darse cuenta de lo que seguirá dando con el infinito resto del algoritmo.

Adelante, ¡vamos! todos saben multiplicar ¿verdad?
¿cuanto es ...99999 x ....99999?

El resultado es muuuuuuy curioso.


Solo Kanijo respondió al llamado. Así que ha llegado la hora de revelar el resultado:

...99999 x ....99999 es..... 1.

Si, el resultado de multiplicar por si mismo una expresión de infinitos dígitos 9 es simple y redondamente 1.
El 1 aparece acompañado de infinitos ceros a la izquierda, pero los ceros a la izquierda no tienen valor.

Lo más curioso es que ademas, si a ...99999 le sumamos 1, obtenemos 0 (se ve a simple vista).

De modo que ...999 es una cosa que elevada al cuadrado da 1 y sumada a 1 da 0.
El único número que conocemos que cumple estas dos condiciones es el -1.

Lo curioso es que ...99998 al cuadrado da 4 y sumado a 2 da 0, igualito que el -2.
Y ...9997 al cuadrado da 9 y sumado a 3 da 0, igualito que el -3.

Ya imaginaran lo que sigue. Con esta idea pueden construirse los negativos y, en general, una nueva caracterización de los enteros.

(el lector puede comprobar cualquiera de las cuentas que he declarado sumando o multiplicando como se hace habitualmente)

Saludos.
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