Intersección conos

[Quijotecolorao]

¡ Hola colegas !

Necesito de vuestra inestimable ayuda para un tema que me trae loco. La cuestión es que necesito una formula que calcule el volumen de la intersección de dos conos iguales apoyados por la base sobre un mismo plano y cuyos vertices distan entre un radio y dos radios de la base del cono. Los datos que definen el cono (radio de la base y altura) son conocidos.
Gracias de antemano por vuestra ayuda.

[alshain]

No recuerdo haber visto una fórmula así nunca. Quizás se pueda hacer de forma más sencilla, pero se me ocurre lo siguiente.

La intersección de un cono con un plano paralelo a su base (o el plano de la base mismo) es un círculo. Tienes dos conos iguales, ambos con la base en un mismo plano, que intersecan. Llamemos a la forma o el volumen resultante V. Considera un plano paralelo al de la base, a una distancia o altura z del plano de la base (o el plano de la base mismo a z = 0), que interseca con V. Por lo mencionado, está claro que la intersección de V con ese plano es una curva cerrada o un área que corresponde con la intersección de dos círculos. Esto no es otra cosa que dos segmentos circulares iguales, pegados el uno al otro por la cuerda (esto es, la forma de una canoa o un ojo, etc.).

El área de un segmento circular en función de la distancia h desde la circunferencia hasta la cuerda puedes encontrarla aquí. Lo que tienes que hacer es escribir esa distancia h en función de z. Esto no es difícil si te imaginas los dos conos cortados por el plano vertical que contenga a ambos ejes de los conos. Verás que la intersección de V con este plano vertical es un triángulo rectángulo de ángulo igual al ángulo del cono. Su altura Z la calculas en función de su base, que es la mitad de la distancia entre los ejes de los conos. Para un z cualquiera, h y (Z - z) están en un triángulo rectángulo de mísmo ángulo, por lo que puedes ponerlas en relación sin problemas. Una vez hecho esto consideras un volumen infinitesimal igual a dz por el área mencionada del segmento circular (dos veces), integras desde z = 0 hasta Z. Por la complejidad quizás el resultado haya que obtenerlo numéricamente. Espero que sirva.

Un saludo.

[Matias]

No recuerdo haber visto una fórmula así nunca..

¿Teniendo las ecuaciones de los conos , no podria hacerse con integrales triples?

[Quijotecolorao]

No recuerdo haber visto una fórmula así nunca..

¿Teniendo las ecuaciones de los conos , no podria hacerse con integrales triples?

Pues no lo se, se admiten ideas.

[alshain]

Pues así a bote pronto yo tampoco lo veo, al contrario que la otra solución que me pareció intuitiva y relativamente inmediata. Con la integral triple veo el problema de definir los límites de integración, y tengo la impresión que será complejo.

La solución que he planteado yo me parece más intuitiva, aunque ahora que lo releo veo algún error. Para que se entienda mejor he hecho un dibujo:



Los cículos de abajo representan la intersección del plano horitonzal vista desde arriba. La idea es que dado el plano horizontal a altura z de la base, el radio del círculo de la intersección de ese plano con los conos es:

r = (H - z) tan a

siendo a el ángulo de los conos. Además:

b = (Z - z) tan a

con:

Z = (R - d/2) / tan a

De aquí se puede poner b en función de z:

b = R - d/2 - (z tan a)

La fórmula para el área del segmento circular es:

A = r² / cos[(r - b)/r] - (r - b) SQRT(2rb - b²)

La integral a realizar es:

V = 2 [INT A(z) dz]

Entre z = 0 y z = Z. No creo que la integral salga tan complicada como parecía en principio. Quijotecolorao, ¿te animas a intentarlo?

[Quijotecolorao]

Pues así a bote pronto yo tampoco lo veo, al contrario que la otra solución que me pareció intuitiva y relativamente inmediata. Con la integral triple veo el problema de definir los límites de integración, y tengo la impresión que será complejo.

La solución que he planteado yo me parece más intuitiva, aunque ahora que lo releo veo algún error. Para que se entienda mejor he hecho un dibujo:



Los cículos de abajo representan la intersección del plano horitonzal vista desde arriba. La idea es que dado el plano horizontal a altura z de la base, el radio del círculo de la intersección de ese plano con los conos es:

r = (H - z) tan a

siendo a el ángulo de los conos. Además:

b = (Z - z) tan a

con:

Z = (R - d/2) / tan a

De aquí se puede poner b en función de z:

b = R - d/2 - (z tan a)

La fórmula para el área del segmento circular es:

A = r² / cos[(r - b)/r] - (r - b) SQRT(2rb - b²)

La integral a realizar es:

V = 2 [INT A(z) dz]

Entre z = 0 y z = Z. No creo que la integral salga tan complicada como parecía en principio. Quijotecolorao, ¿te animas a intentarlo?

Se puede intentar, gracias.